не член (какой-н. организации, общества и т. п.), напр.: не член профсоюза; не член НАТО (о государстве)
Ответы справочной службы
1. Запятая поставлена правильно. Слово однако общим членом предложения не является, так как это вообще не член предложения, это противительный союз.
2. Вы правы, деепричастный оборот, стоящий после подчинительного союза либо союзного слова, должен отделяться от него запятой.
Страница ответаЭто вводное слово, не член предложения.
Страница ответаСправочники
И НАОБОРОТ, союз + наречие В конструкциях с сочетанием «и наоборот» действуют следующие пунктуационные правила. Если слова «и наоборот» замещают собой член предложения, запятая перед союзом не ставится. Легко принять мыслительную действительность за бытовую и наоборот. В. Пропп, Исторические корни волшебной сказки. Так они говорили, то возвышая, то понижая голос, переходя с русского на греческий и наоборот. Ф. Искандер, Мой кумир.
... Если слова «и наоборот» замещают собой не член предложения, а целое предложение, то перед союзом ставится запятая. Кто произносит при мне слово «воображение», тот вместе с тем произносит и слово «женщина», и наоборот. М....
...И наоборот...